2024 한국정보올림피아드(KOI) 1차 대회 2교시 중등부

한국 정보올림피아드(KOI) 기출 문제 풀이과정을 수록합니다.

1. 두 배 (초2/중1)

제목 링크를 통해 문제를 확인해주세요.

📄 문제 개요

수열을 오름차순(점점 커지거나 같은 상태)으로 만들기 위해, 숫자에 2를 곱하는 연산을 최소 몇 번 해야 하는지 구하는 문제입니다.

상황: 앞의 숫자보다 뒤의 숫자가 작다면, 뒤의 숫자에 2를 계속 곱해서 앞의 숫자보다 크거나 같게 만들어야 합니다.
목표: 배열 전체를 오름차순으로 만드는 데 필요한 전체 곱셈 연산의 최소 횟수를 구해야 합니다.

※ 이번 문제는 log 개념을 알고 있다면 더 수월하지만, 초/중등 부문 문제인 만큼 log 사용은 배제합니다.

💡 첫 번째 접근 - 직접 2를 곱해보기

가장 먼저 떠오르는 방법은 문제의 조건 그대로 앞의 숫자보다 뒤의 숫자가 작을 때마다 직접 2를 곱해보며 횟수를 세는 것입니다.

두 번째 숫자 1은 앞의 3보다 작기 때문에 더 커지기 위해 2를 2번 곱합니다. (현재 누적 연산 2회)
세 번째 숫자 5는 앞의 4보다 크기 때문에 연산을 하지 않습니다. (현재 누적 연산 2회)
네 번째 숫자 1은 앞의 5보다 작기 때문에 더 커지기 위해 2를 3번 곱합니다. (현재 누적 연산 5회)
다섯 번째 숫자 5는 앞의 8보다 작기 때문에 더 커지기 위해 2를 1번 곱합니다. (현재 누적 연산 6회)

💻 코드 구현 - 직접 2를 곱해보기

n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))

ans = 0

for i in range(1, n):
    while arr[i-1] > arr[i]: # 내 앞 숫자보다 커질 때까지 2를 곱하기
        arr[i] *= 2
        ans += 1

print(ans)

이 코드로도 주어진 예제들에 대한 정답은 잘 출력되는 것을 볼 수 있습니다.

하지만 수열의 길이(N)가 최대 250,000개일 때, 숫자가 계속 작아지는 최악의 경우를 상상해 봅시다.

마지막 숫자는 2를 수십만 번 곱해야 하고, 숫자의 길이는 수만 자리를 넘어가게 됩니다.

이처럼 거대한 숫자를 매번 비교하고 곱하는 과정에서 엄청난 연산 시간이 소모되어 결국 시간 초과가 발생합니다.

그래서 위 코드로는 33점 획득이 가능합니다.

💡 두 번째 접근 - 곱한 횟수 기록하기

이번에는 숫자를 직접 부풀리는 대신, 이 숫자는 2를 몇 번 곱한 상태인지 횟수를 따로 기록해 두는 방법입니다.

현재 숫자와 이전 숫자의 원래 크기를 비교하여 다음과 같이 횟수(cnt)를 정합니다.

이전 숫자가 더 클 때 (따라잡아야 할 때)

: 현재 숫자에 2를 몇 번 곱해야 이전 숫자 이상이 되는지 계산하여, 그 횟수만큼 이전 숫자의 누적 횟수에 더해줍니다.

현재 숫자가 더 클 때 (여유가 있을 때)

: 현재 숫자가 이미 크기 때문에, 이전 숫자의 누적 횟수에서 2를 나눌 수 있는 만큼(여유분) 횟수를 차감해 줍니다.

💻 코드 구현 - 곱한 횟수 기록하기

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))

ans = 0
cnt = 0

for i in range(1, n):
    prev, curr = a[i-1], a[i]
    
    if prev > curr: # 이전 숫자가 더 크다면
        k = 0
        tmp = curr
        while tmp < prev: # 2를 곱하는 횟수 누적
            tmp *= 2
            k += 1
        cnt += k
        
    else: # 현재 숫자가 더 크다면
        k = 0
        tmp = prev
        while tmp * 2 <= curr: # 여유 횟수만큼 누적
            tmp *= 2
            k += 1
        cnt = max(0, cnt - k) # 이전 누적 횟수에서 여유분 차감(cnt - k), 0보다 작아질 수는 없음
        
    ans += cnt

print(ans)